Question

5．如圖（1），在平面直角坐標系中．以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為$\sqrt{2}$-1，直線l：y=x-$\sqrt{2}$與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（-4，1），⊙B與x軸相切于M
（1）求A的坐標及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個單位長度沿x軸正方向平移，同時直線l繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，當⊙B第一次與⊙O相切時，直線l也恰好與⊙B第一次相切，問直線AC繞點A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？
（3）如圖（2）過A、O、C三點作⊙O₁，點E是劣弧AO上一點，連接EC、EA、ED，當點E在劣弧AO上運動時（E不與A、O兩點重合），則$\frac{EC-EA}{EO}$的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值：如果變化，說明理由

Answer 1

分析 （1）由直線l的方程可求得A、C的坐標，在Rt△AOC中可求得∠CAO的度數(shù)；
（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，直線l旋轉(zhuǎn)到l₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N．由相切可求得OB₁，可求得t的值，連接B₁A，B₁P，可證得PA∥B₁O，則可求得∠1=90°，可求得直線l旋轉(zhuǎn)的角度；
（3）由（1）可知AC為⊙O₁的直徑，在CE截取CM，使CM=AE，OA=OC，再由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，利用SAS得到三角形AOE與三角形COM全等，由全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用同角的余角相等得到∠EOM為直角，對應(yīng)邊相等得到OE=OM，可得出三角形EOM為等腰直角三角形，利用勾股定理得到EM=$\sqrt{2}$OE，再由EM=EC-CM，等量代換即可求出所求式子的結(jié)果．

解答 解：（1）在y=x-$\sqrt{2}$中，令y=0可得x=$\sqrt{2}$，令x=0，可得y=-$\sqrt{2}$，
∴A（$\sqrt{2}$，0），C（0，-$\sqrt{2}$），
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∴∠CAO=45°；
（2）如圖1，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
此時，直線l旋轉(zhuǎn)到l₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N．
則MN=t，OB₁=$\sqrt{2}$，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=$\sqrt{2}$，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直線AC繞點A平均每秒旋轉(zhuǎn)90°÷3=30°；
（3）解：如圖2，由（1）可知△OAC為⊙O₁的內(nèi)接等腰直角三角形，AC為直徑，
在CE上截取CM=AE，連接OM，
∵在△OAE和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCM}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCM（SAS），
∴∠AOE=∠COM，OM=OE，
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠AOE+∠AOM，
∴∠MOE=90°，
∴△OME為等腰直角三角形，
∴ME=$\sqrt{2}$EO，
又∵ME=EC-CM=EC-AE，
∴EC-AE=$\sqrt{2}$EO，即$\frac{EC-EA}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴當點E在劣弧AO上運動時（E不與A、O兩點重合），則$\frac{EC-EA}{EO}$的值不變，其值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓和圓的相切、直線和圓相切的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．在（1）中注意等腰直角三角形的性質(zhì)，在（2）中先求得t的值是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造三角形全等，找到ME和EO的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點較多，綜合性很強，有一定的難度．