Question

已知：二次函數(shù)y=

1

2

x²+px+q的圖象與x軸交于A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷△ABC的形狀，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)D是該拋物線x軸上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，是否存在△ADE，使得△ADE與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,勾股定理的逆定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）只需令y=0，就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問(wèn)題；
（3）點(diǎn)D是該拋物線x軸上方的一點(diǎn)，可分點(diǎn)D在第一象限和第二象限兩種情況討論，對(duì)于每一種情況，又分△AED∽△ACB和△AED∽△BCA兩種情況討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得到AE與DE的關(guān)系，設(shè)其中一個(gè)為x，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)（用x的代數(shù)式表示），然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的關(guān)系式，求出x的值，就可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+px+q的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0）、點(diǎn)C（0，-2），
∴

1 2 ×16-4p+q=0 q=-2

，
解得：

p= 3 2 q=-2

，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）令y=0，得

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．
△ABC是直角三角形．
理由：∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2．
∴AB=OA+OB=5．
∵OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（3）①點(diǎn)D在第一象限，如圖1．
Ⅰ．若△AED∽△ACB，
則有

AE

ED

=

AC

CB

=

20

5

=2．
設(shè)ED=x，則AE=2x，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4+2x，x）．
把點(diǎn)D（-4+2x，x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
x=

1

2

（-4+2x）²+

3

2

（-4+2x）-2，
解得：x₁=0（舍去），x₂=3．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4+2×3，3）即（2，3）；
Ⅱ．若△AED∽△BCA，
則有

AE

ED

=

BC

CA

=

5

20

=

1

2

．
設(shè)AE=x，則ED=2x，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4+x，2x）．
把點(diǎn)D（-4+x，2x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
2x=

1

2

（-4+x）²+

3

2

（-4+x）-2，
解得：x₃=0（舍去），x₄=9．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4+9，18）即（5，18）；
②點(diǎn)D在第二象限，如圖2．
Ⅰ．若△AED∽△ACB，
則有

AE

ED

=

AC

CB

=

20

5

=2．
設(shè)ED=x，則AE=2x，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4-2x，x）．
把點(diǎn)D（-4-2x，x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
x=

1

2

（-4-2x）²+

3

2

（-4-2x）-2，
解得：x₅=0（舍去），x₆=-2（舍去）；
Ⅱ．若△AED∽△BCA，
則有

AE

ED

=

BC

CA

=

5

20

=

1

2

．
設(shè)AE=x，則ED=2x，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4-x，2x）．
把點(diǎn)D（-4-x，2x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
2x=

1

2

（-4-x）²+

3

2

（-4-x）-2，
解得：x₇=0（舍去），x₈=-1（舍去）．
綜上所述：符合題意的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）或（5，18）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、解一元二次方程等知識(shí)，另外還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，設(shè)AE（或DE）為x，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)（用x的代數(shù)式表示）是解決第（3）小題的關(guān)鍵．