Question

已知，如圖，在菱形ABCD中，點E為AB邊的中點，連接CE，點F為CE上的一點且2∠BFE+∠A=180°，連接DF，則∠CFD=

 

°．

Answer 1

考點：菱形的性質

專題：

分析：如圖，連接AC、BD，AC與BD交于點O，連接EO、FO．構建相似三角形△EBG∽△EFB、△GOF∽△GCD，進而推知△DFG∽△COG，則其對應角相等：∠GFD=∠GOC=90°．

解答：解：如圖，連接AC、BD，AC與BD交于點O，連接EO、FO．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠EBG+∠BAO=90°，
又∵2∠BFE+∠A=180°，
∴∠EFB+∠BAO=90°，
∴∠EBG=∠EFB，
又∠BEG=∠FBE，
∴△EBG∽△EFB，
∴BE²=EG•EF，EB=EO，
∴△EGO∽△EOF，
∴∠EOG=∠EFO=∠ABD=∠GDC，∠FGO=∠OGD，
∴△GOF∽△GCD，
∴

GO

GC

=

GF

GD

，
∴

GO

GF

=

GC

GD

，
∵∠CGO=∠DGF，
∴△DFG∽△COG，
∴∠GFD=∠GOC=90°．
故答案是：90°．

點評：本題考查了菱形的性質．解題時，注意輔助線的作法，此題是通過作輔助線構建相似三角形，利用相似三角形的性質進行證明的．