Question

4．已知△ABC，分別以AB、AC為邊，作等腰直角△ABD和△ACE．
（1）如圖1，連接BE、CD，請(qǐng)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，連接DE，過A作AG⊥DE，延長(zhǎng)GA交BC于F，猜想線段AF和DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AF到H，使FH=AF，連接CF，根據(jù)已知條件得到△ABF≌△HCF，由全等三角形的性質(zhì)得到∠3=∠4，AB=CF，證得AB∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC+∠ACH=180°，求出∠ACH=∠DAE，證得△ADE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在等腰直角△ABD和等腰直角△ACE中
AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∠ADB=∠ABD=45°．
∴∠BAE=∠DAC．
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADC+∠ABD+∠BDC=90°=∠ABE+∠ABD+∠BDC，
即∠DBP+∠BDC=90°．
∴∠BPC=90°，
∴BE⊥CD；

（2）延長(zhǎng)AF到H，使FH=AF，連接CH，
在△ABF與△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=HF}\\{∠1=∠2}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△HCF，
∴∠3=∠4，AB=CF，
∴AB∥CF，
∴∠BAC+∠ACH=180°，
∵∠BAC+∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC=180°，
∴∠ACH=∠DAE，
∴AE=AC，AD=CH，
在△ADE與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠ACH=∠DAE}\\{AD=CH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ACF，
∴DE=AH，
∵AH=2AF，
∴DE=2AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．