Question

如圖，正方形ABCD與正方形AEFG的頂點(diǎn)E、A、B在同一直線上，以AB所在直線為x軸、AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，以O(shè)為圓心的⊙O恰好經(jīng)過C、D、F三點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M、N，已知正方形ABCD的邊長為4．
（1）求正方形AEFG的邊長，并直接寫出點(diǎn)C、F的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)H，使得以M、N、H為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)H坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)正方形AEFG的邊長為λ，運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于λ的方程，求出λ，問題即可解決．
（2）將C、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值，問題即可解決．
（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)MN為直角三角形的直角邊或斜邊時(shí)，借助拋物線解析式、勾股定理等知識逐一討論解析，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖，連接OC、OF；
設(shè)正方形AEFG的邊長為λ；由題意得：
∠FEO=∠OBC=90°，OE=2+λ，OC=OF；OB=2，BC=4；
由勾股定理得：OC²=OB²+BC²，OF²=OE²+EF²，
∴2²+4²=（2+λ）²+λ²，
解得：λ=2或-4（舍去）．
∴正方形AEFG的邊長為2，點(diǎn)C、F的坐標(biāo)分別為C（2，4）、F（-4，2）．
（2）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，
∴

4a+2b=4 16a-4b=2

，
解得：a=

5

12

，b=

7

6

，
∴拋物線的解析式為y=

5

12

x2+

7

6

x．
（3）存在．
滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（-2

5

，

25-7 5

3

）、（2

5

，

25+7 5

3

）．

點(diǎn)評：該題是以平面直角坐標(biāo)系和圓為載體，以考查點(diǎn)的坐標(biāo)的定義、勾股定理、待定系數(shù)法等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成的一道坐標(biāo)型幾何題；對綜合的分析問題解決問題的能力、求解運(yùn)算能力等均提出了較高的要求．