Question

11．對平面直角坐標系中的點P（x，y），定義d=|x|+|y|，我們稱d為P（x，y）的幸福指數(shù)．對于函數(shù)圖象上任意一點P（x，y），若它的幸福指數(shù)d≥1恒成立，則稱此函數(shù)為幸福函數(shù)，如二次函數(shù)y=x²+1就是一個幸福函數(shù)，理由如下：設P（x，y）為y=x²+1上任意一點，d=|x|+|y|=|x|+|x²+1|，∵|x|≥0，|x²+1|=x²+1≥1，∴d≥1．∴y=x²+1是一個幸福函數(shù)．
（1）若點P在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，且它的幸福指數(shù)d=2，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標；
（2）一次函數(shù)y=-x+1是幸福函數(shù)嗎？請判斷并說明理由；
（3）若二次函數(shù)y=x²-（2m+1）x+m²+m（m＞0）是幸福函數(shù)，試求出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為（m，$\frac{1}{m}$），根據(jù)幸福指數(shù)的定義，即可得出關于m的分式方程，解之經檢驗即可得出結論；
（2）設P（x，y）為y=-x+1上的一點，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍，由此即可得出一次函數(shù)y=-x+1是幸福函數(shù)；
（3）設P（x，y）為y=x²-（2m+1）x+m²+m上的一點，由y=x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段尋找m的取值范圍，利用配方法以及二次函數(shù)的性質結合幸福函數(shù)的定義即可求出m的取值范圍，綜上即可得出結論．

解答 解：（1）設點P的坐標為（m，$\frac{1}{m}$），
∴d=|m|+|$\frac{1}{m}$|=2，
解得：m₁=-1，m₂=1，
經檢驗，m₁=-1、m₂=1是原分式方程的解，
∴滿足條件的P點坐標為（-1，-1）或（1，1）．
（2）一次函數(shù)y=-x+1是幸福函數(shù)，理由如下：
設P（x，y）為y=-x+1上的一點，d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|，
當x＜0時，d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x＞1；
當0≤x≤1時，d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1；
當x＞1時，d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1＞1．
∴對于y=-x+1上任意一點P（x，y），它的幸福指數(shù)d≥1恒成立，
∴一次函數(shù)y=-x+1是幸福函數(shù)．
（3）設P（x，y）為y=x²-（2m+1）x+m²+m上的一點，d=|x|+|y|=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|，
∵y=x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1），m＞0，
∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考慮．
①當x≤0時，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=-x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m-1）²-m-1，
當x=0時，d取最小值，最小值為m²+m，
∴m²+m≥1，
解得：m≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②0＜x＜m時，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）²+m-1≥1，
∵（x-m）²≥0，
∴m-1≥1，
解得：m≥2；
③當m≤x≤m+1時，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x-x²+（2m+1）x-m²-m=-（x-m-1）²+m+1，
當x=m時，d取最小值，最小值為m，
∴m≥1；
④當x＞m+1時，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）²+m-1＞m≥1，
∴m≥1．
綜上所述：
∴-（m+1）≥1，
解得：若二次函數(shù)y=x²-（2m+1）x+m²+m（m＞0）是幸福函數(shù)，m的取值范圍為m≥2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及絕對值，解題的關鍵是：（1）根據(jù)幸福指數(shù)的定義，找出關于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考慮．