Question

5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→O→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向上方作正方形PQMN，當(dāng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AB交OD于點(diǎn)Q，以PQ為邊向左側(cè)作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABO重疊部分圖形的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，易知PB=t，PQ=MN=$\frac{4}{5}$t，BQ=$\frac{3}{5}$t，由MN∥BC，推出$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，列出方程即可解決問題；
（2）分三種情形討論①如圖2中，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，重疊部分是正方形MNPQ．②如圖3中，當(dāng)3＜t≤$\frac{30}{7}$時(shí)，重疊部分是五邊形MQPEF．③如圖4中，當(dāng)$\frac{30}{7}$＜t≤5時(shí)，重疊部分是四邊形AQPE．分別求解即可；
（3）分三種情形①如圖5中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知BE=EC=4．②如圖6中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知DE=EC=3．③如圖7中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知BE=EC=4．俯角列出方程即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí)．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠BAD=90°，
∴BD=AC=10，cos∠ABO=cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
易知PB=t，PQ=MN=$\frac{4}{5}$t，BQ=$\frac{3}{5}$t，
∵M(jìn)N∥BC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{8}$=$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{6}$，
∴t=3．
（2）如圖2中，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，重疊部分是正方形MNPQ，S=（$\frac{4}{5}$t）²=$\frac{16}{25}$t²．

如圖3中，當(dāng)3＜t≤$\frac{30}{7}$時(shí)，重疊部分是五邊形MQPEF，

S=S_{正方形MNPQ}-S_△PEN=$\frac{16}{25}$t²-$\frac{1}{2}$•[$\frac{4}{5}$t-$\frac{6}{5}$（5-t）]•$\frac{4}{3}$•[$\frac{4}{5}$t-$\frac{6}{5}$（5-t）]=-$\frac{152}{75}$t²+16t-24．

如圖4中，當(dāng)$\frac{30}{7}$＜t≤5時(shí)，重疊部分是四邊形AQPE，

S=$\frac{1}{2}$[$\frac{6}{5}$（5-t）+6-$\frac{3}{5}$t]•$\frac{4}{5}$t=-$\frac{18}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．

（3）如圖5中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知BE=EC=4，

∵M(jìn)N∥BE，
∴$\frac{MN}{BE}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{4}$=$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{6}$，
∴t=$\frac{30}{13}$．
如圖6中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知DE=EC=3，

∵tan∠ANM=tan∠DAE，
∴$\frac{AM}{NM}$=$\frac{ED}{AD}$，
∴$\frac{6-\frac{3}{5}t-\frac{4}{5}t}{\frac{4}{5}t}$=$\frac{3}{8}$，
∴t=$\frac{60}{17}$．
如圖7中，當(dāng)直線AN將矩形ABCD分成面積為1：3兩部分時(shí)，易知BE=EC=4，

∵PN∥EC，
∴$\frac{PN}{EC}$=$\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{\frac{6}{5}（t-5）}{4}$=$\frac{5+t-5}{10}$，
∴t=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程，屬于中考?jí)狠S題．