Question

在四邊形ABCD中，AC⊥BD，邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別是E、F、G、H，求證：E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)在同一的圓上．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：證明題

分析：首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可，則對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓．

解答：證明：如圖，順次連接點(diǎn)E、F、G、H．
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC，
∴EF=GH，同理EH  FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵對(duì)角線AC、BD互相垂直，
∴EF與FG垂直．
∴四邊形EFGH是矩形．
∴∠FEH=∠FGH=90°，
∴∠FEH+∠FGH=180°，
∴E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)在同一的圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題．