Question

正整數(shù)m，n，k滿足：mn=k²+k+3，證明不定方程x²+11y²=4m和x²+11y²=4n中至少有一個有奇數(shù)解（x，y）．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：證明題

分析：首先證明引例不定方程x²+11y²=4m ①，或有奇數(shù)解，或有滿足x₀≡（2k+1）y₀（modm） ②的偶數(shù)解，其中k是整數(shù)．根據(jù)引例即可作出證明．

解答：證明：首先我們證明如下一個
引理：不定方程x²+11y²=4m ①
或有奇數(shù)解，或有滿足x₀≡（2k+1）y₀（modm） ②
的偶數(shù)解，其中k是整數(shù)．
引理的證明  考慮如下表示x+（2k+1）y，
這表明，共有（[2

m

]+1）（[

m

2

]+1）＞m  個表示，因此存在整數(shù)x₁，x₂∈[0，2

m

]，y₁，y₂∈[0，

m

2

]，滿足（x₁，y₁）≠（x₂，y₂），且x₁+（2k+1）y₁≡x₂+（2k+1）y₂（modm）
這表明x≡（2k+1）y（modm）③
這時有x=x₁-x₂，y=y₂-y₁，由此可得：x²≡（2k+1）² y²-11y²（modm）
故x²+11y²=km．因為|x|≤2

m

，|y|≤

m

2

．
所以，x+（2k+1）y，x，y為整數(shù)，且0≤x≤2

m

，0≤y≤

m

2

則x²+11y²＜4m+

11

4

m＜7m
于是1≤k≤6，因為m為奇數(shù)，x²+11y²=2m和x²+11y²=6m顯然沒有整數(shù)根．
（1）若x²+11y²=m，則x₀=2x，y₀=2y是方程的解．是方程①滿足②的解．
（2）若x²+11y²=4m，則x₀=x，y₀=y是方程的解．是方程①滿足②的解．
（3）若x²+11y²=3m，則（x±11y）²+11（x

.

+

y）²=3²×4m是方程的解．是方程①滿足②的解．
首先假設(shè)3xm．若x≠0（mod3），y≠0（mod3），且3≠y（mod3）
則x₀=

x-11y

3

，y₀=

x+y

3

 ④是方程①滿足②的解；
若x≡y≠0（mod3），則x₀=

x+11y

3

，y₀=

y-x

3

  ⑤是方程①滿足②的解．
現(xiàn)在假設(shè)3|m，則公式④和⑤仍然給出方程①的整數(shù)解．若方程①有偶數(shù)解，則．
x₀=2x₁，y₀=2y₁，則x₁²+11y₁²=m?36m=（5x₁±11y₁）²+11（5y₁

.

+

x₁）²
以為x₁，y₁的奇偶性不同，所以5x₁±11y₁，5y₁

.

+

x₁都為奇數(shù)．
若x≡y（mod3），則x₀=

5x1- 11y1

3

，y₀=

5y1+ x1

3

是方程①的一奇數(shù)解．
（4）x²+11y²=5m，則5²•4m=（3x

.

+

11y）²+11（3y±x）²．
當(dāng)5xm時，若x≡±1（mod5），y=

.

+

2（mod5），
或x=±2（mod5），y=

.

+

1（mod5），則x₀=

3x+11y

3

，y₀=

3y+x

5

 ⑥是方程①滿足②的解．
若x₀≡±1（mod5），y≡±2（mod5），或x≡±2（mod5），y≡=

.

+

1（mod5），則
x₀=

3x+11y

5

，y₀=

3y-x

5

  ⑦是方程①的滿足②的解．
當(dāng)5|m，則公式⑥和⑦仍然給方程①的整數(shù)解．若方程①有偶數(shù)解x₀=2x₁，y₀=2y₁，則x₁²+11y₁²=m，x₁≠y₁（mod2）
可得100m=（x₁=

.

+

33y₁）²+11（y₁±3x₁）²．
若x₁=y₁≡0（mod5），或x₁≡±（mod5），y₁=±2（mod5）或x₁=±2（mod5），y₁=

.

+

1（mod5），則x₀=

x1-33y1

5

，y₀=

y1+3x1

5

是方程①的奇數(shù)解．
引例證畢．
由引例，若方程①沒有奇數(shù)解，則它有一個滿足②的偶數(shù)解（x₀，y₀）．
令l=2k+1，考慮二次方程⑧則x=

-ly0± l2-4mn y 2 0 + 4m

2m

=

-ly0±x0

2m

這表明方程⑧至少有一個整數(shù)根x₁，即mx₁²+ly₀x¹+ny₀2-1=0 ⑨上式表明x1必為奇數(shù)，
將⑨乘以4n后配方得（2ny₀+lx1）²+11x₁²=4n，
這表明方程x²+11y²=4n有奇數(shù)解x=2ny₀+lx₁，y=x₁．

點評：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)解，正確理解并且證明引例是解決本題的關(guān)鍵．