Question

8．已知：二次函數(shù)y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1（a≠3）．
（1）當(dāng)a=5，求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)a為大于4的整數(shù)，x為正整數(shù)
①在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容使等式成立
由題意得拋物線的對稱軸
h=$\frac{-2（{a}^{2}-6a+10）}{2（a-3）}$=$\frac{{a}^{2}-6a+10}{（）}$=$\frac{（）^{2}+1}{a-3}$=a-3+$\frac{（）}{a-3}$
②用a的代數(shù)式表示h的整數(shù)部分，并說明理由．
③當(dāng)二次函數(shù)取得最小值時(shí)，求正整數(shù)x的值．（用a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）將a=5代入二次函數(shù)y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1，然后利用配方法求解即可求得此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）①首先根據(jù)公式求得對稱軸，再化簡，即可求得答案；②由①，即可求得答案；③分三種情形討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，二次函數(shù)y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1=2x²-10x+1=2（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{23}{2}$；
∴此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{5}{2}$，-$\frac{23}{2}$）；

（2）①h=-$\frac{-2（{a}^{2}-6a+10）}{2（a-3）}$=$\frac{{a}^{2}-6a+10}{a-3}$=$\frac{（a-3）^{2}+1}{a-3}$=a-3+$\frac{1}{a-3}$，
故答案為：a-3，a-3，1；

②由①得：h的整數(shù)部分為：a-3；
理由：∵為大于4的整數(shù)，
∴a-3是大于1的整數(shù)，
∴$\frac{1}{a-3}$是小數(shù)，
∴h的整數(shù)部分為：a-3；

③當(dāng)x=h=a-3+$\frac{1}{a-3}$時(shí)，二次函數(shù)取得最小值，
∵a為大于4的整數(shù)，x為正整數(shù)，
∴拋物線的開口向上，
∴x=a-3或a-2時(shí)取得最小值，
當(dāng)x=a-3時(shí)，取得最小值，則有
a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）＜（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a＞5，
當(dāng)x=a-3或a-2時(shí)取得最小值，則有a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）=（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a=5，此時(shí)x=2或3，
當(dāng)x=a-2時(shí)取得最小值，則有a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）＞（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a＜5（不合題意）
綜上所述，當(dāng)a＞5時(shí)，二次函數(shù)取得最小值時(shí)，x=a-2，
當(dāng)a=5時(shí)，二次函數(shù)取得最小值時(shí)，x=2或3．

點(diǎn)評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．