Question

4．已知：過點P作一直線與半徑為R的⊙O相交于A，B兩點．求證：PA•PB=|R²-OP²|．

Answer 1

分析 分兩種情況：①點P在圓內(nèi)，過點P作直徑CD，如圖1，根據(jù)相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，則PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展開即可得到結(jié)論；
點P在圓外，直線OP交⊙O于C、D，如圖2，根據(jù)切割線定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，則PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²，然后利用平方差公式展開即可得到結(jié)論．

解答 證明：①點P在圓內(nèi)，過點P作直徑CD，如圖1，

∵PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=R-OP，PD=OD+OP=R+OP，
∴PA•PB=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²；
②點P在圓外，直線OP交⊙O于C、D，如圖2，

∵PCD和PAB都為⊙O的割線，
∴PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=OP-R，PD=OD+OP=OP+R，
∴PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²．
綜上所述：PA•PB=|R²-OP²|．

點評 本題考查了切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． 也考查了相交弦定理．