Question

在平面直角坐標系中，有點A（m，0），B（0，n），且m，n滿足n=

m2-4 + 4-m2 +12

m-2

．

（1）求A、B兩點坐標；
（2）如圖1，若P（1，a），且△PAB的面積為6，求a的值；
（3）如圖2，若點C為x軸正半軸上一點，過C作CD∥AB，E為線段AB上一點，過O作OF⊥OE交CD于F，其中∠BEH=

1

3

∠BEO，∠FCH=

1

3

∠FCO．試寫出∠H與∠BOF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）運用二次根式及分母有意義的條件求解．
（2）根據(jù)P點的不同位置討論①當點P在x軸上方時，②當點P在x軸時，③當點P在x軸下方時，運用△PAB的面積為6，求出a的值．
（3）由直角關(guān)系得出∠BOF=∠AOE，由三角形外角得出∠BEO=∠BAO+∠AOE，∠1=180°-∠FCO，再由CD∥AB，得出∠BAO=∠1，即可得出∠BEO+∠FCO=180°+∠BOF，過點H作AB的平行線，可得∠H=

1

3

（∠BEO+∠FCO）．從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由n=

m2-4 + 4-m2 +12

m-2

得

m2-4≥0 4-m2≥0 m≠2

，
解得m=-2，
∴n=

12

-4

=-3，
∴A（-2，0），B（0，-3）；

（2）①當點P在x軸上方時，如圖1，BP與x軸交于點M，

設(shè)BP所在的直線為y=k₁x+b₁，
把B（0，-3），P（1，a）代入，
得

b1=-3 a=k1+b1

，解得

k1=3+a b1=-3

，
y=（3+a）x-3，
∴M（

3

3+a

，0），
∴AM=2+

3

3+a

，
∵△PAB的面積=△AMP的面積+△AMB的面積，
∴

1

2

×（2+

3

3+a

）×a+

1

2

×（2+

3

3+a

）×3=6，
解得a=

3

2

；
②當點P在x軸上時，如圖2，

△PAB的面積=

1

2

×AP×OB=

9

2

≠6故不成立；
③當點P在x軸下方時，如圖3，BP與y軸交于點M，

設(shè)BP所在的直線為y=k₂x+b₂，
把A（-2，0），P（1，a）代入y=k₂x+b₂，
得

-2k2+b2=0 k2+b2=a

，解得

k2= a 3 b2= 2a 3

，
求得AP所在的直線解析式為：y=

a

3

x+

2a

3

，
∴M（0，

2a

3

）；
∴BM=|

2a

3

+3|，
∵△PAB的面積=△ABM的面積+△PMB的面積，

1

2

×|

2a

3

+3|×2+

1

2

×|

2a

3

+3|×1=6，
解得，a=-

21

2

，a=

3

2

不合題意，
綜上所述a的值為：

3

2

或-

21

2

；

（3）3∠H-∠BOF=180°．理由如下：
如下圖4，

∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∵∠BOF+∠BOE=∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOE，
∵∠BEO=∠BAO+∠AOE，∠1=180°-∠FCO，
又∵CD∥AB，
∴∠BAO=∠1，
∴∠BEO=180°-∠FCO+∠AOE，
∴∠BEO+∠FCO=180°+∠BOF．
過點H作AB的平行線，可得∠H=∠BEH+∠FCH=

1

3

∠BEO+

1

3

∠FCO=

1

3

（∠BEO+∠FCO），
∴∠BEO+∠FCO=3∠H，
∴3∠H=180°+∠BOF即3∠H-∠BOF=180°，

點評：本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面積及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)P點的不同位置進行討倫求值．