Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

2

，cosA=

3

2

，如果將△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)至△A′B′C的位置，使點B′落在∠ACB的角平分線上，A′B′與AC相交于點H，那么線段CH的長等于

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)題意畫出圖形，進而利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系和等腰直角三角形求出三角形各邊長，再利用三角形面積求出即可．

解答：解：過點B′作B′F⊥AC于點F，A′D⊥AC于點D，
∵∠ACB=90°，點B′落在∠ACB的角平分線上，
∴∠BCB′=∠B′CA=ACA′=45°，
∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，
∵AC=

2

，cosA=

3

2

，
∴

AC

AB

=

2

AB

=

3

2

，
解得：AB=

2 6

3

，
∴BC=

6

3

，
∴B′C=

6

3

，
∴B′F=

2

2

×

6

3

=

3

3

，
A′D=

2

2

×CA′=1，
∴S_△A′CB′=S_△CHB′+S_△CHA′=

1

2

×

6

3

×

2

=

1

2

×

3

3

×CH+

1

2

×1×CH，
解得：CH=

3

-1，
故答案為：

3

-1．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系和三角形面積求法等知識，利用S_△A′CB′=S_△CHB′+S_△CHA′求出是解題關鍵．