Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，AB=1．點(diǎn)D，E在圓上，四邊形BCDE為矩形，則這個(gè)矩形的面積是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，連接BD、OC，根據(jù)垂徑定理可得出BF的長，故可得出OB的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠BCD=90°，再根據(jù)圓周角定理得BD為⊙O的直徑，則BD=2；由△ABC為等邊三角形得∠A=60°，于是利用圓周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=

1

2

BD=

1

2

，然后根據(jù)矩形的面積公式求解．

解答：解：過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)BD、OC，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，AB=1，
∴BF=

1

2

BC=1，∠OBC=30°，
∴OB=

BF

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

．
∵四邊形BCDE為矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD為⊙O的直徑，
∴BD=

2 3

3

，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=

1

2

BD=

3

3

，
∴矩形BCDE的面積=BC•CD=

3

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．