Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．
①求證：AD是∠BAC的平分線；
②求∠ADC的度數(shù)；
③求證：點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④求證：S_△DAC：S_△ABC=1：3．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—基本作圖,角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：①連接NP，MP，根據(jù)SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出結(jié)論；
②先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB的度數(shù)，再由AD是∠BAC的平分線得出∠1=∠2=30°，
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知∠ADC=60°；
③根據(jù)∠1=∠B可知AD=BD，故可得出結(jié)論；
④先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠2=30°，CD=

1

2

AD，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：①證明：連接NP，MP，
在△ANP與△AMP中，
∵

AN=AM NP=MP AP=AP

，
∴△ANP≌△AMP；

②證明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，∠ADC=60°；

③證明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上；

④證明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∴BC=BD+CD=AD+

1

2

AD=

3

2

AD，S_△DAC=

1

2

AC•CD=

1

4

AC•AD，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•

3

2

AD=

3

4

AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=1：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．