Question

11．根據(jù)圖形回答問題：

（1）線段AB上任取一點C，分別以AC和BC為邊作等邊三角形，試回答△ACE可看作哪個三角形怎么樣旋轉(zhuǎn)得到．（不用說明理由）
（2）線段AB上任取一點C，分別以AC和BC為邊作正方形，連接DG，M為DG中點，連接EM并延長交FG于N，連接FM，猜測FM和EM的關(guān)系，并說明理由．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上將正方形CBGF繞C點旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，猜測FM和EM的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出△ACE可以由△DCB以C點為軸逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，易證△DME≌△GMN，得出△NFE是等腰直角三角形，所以FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中線就是垂線，直角三角形中線等于斜邊的一半）；
（3）延長EM至N點，使EM=MN，連接NG、EF、FN，先證明△DME≌△GMN，再證明△ECF≌△NGF，得出△EFN是等腰直角三角形，所以FM⊥ME，并且FM=ME．

解答 解：（1）將△ACE以點C為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C點為軸逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到．
（2）FM⊥ME，F(xiàn)M=ME
連接GN和DE，
在△DME和△GMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠MHG}\\{∠DME=∠GMN}\\{DM=MG}\end{array}\right.$
∴△DME≌△GMN（AAS），
∴DM=MN，DE=NG
∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，
∴△NFE是等腰直角三角形，
∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中線就是垂線，直角三角形中線等于斜邊的一半）
（3）延長EM至N點，使EM=MN，連接NG、EF、FN．（EC與DM的交點標為P，F(xiàn)C與DM交點標為Q）
在△DME和△GMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=MN}\\{∠DME=∠GMN}\\{DM=MG}\end{array}\right.$
∴△DME≌△GMN．
∴DE=NG，∠EDM=∠NGM
∴EC=NG
∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG
=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，
∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，
∴∠ECF=∠NGF
∵EC=DE=NG
在△ECF和△NGF中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FG}\\{∠ECF=∠NGF}\\{EC=NG}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△NGF
∴EF=NF，∠EFC=∠NFG
∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°
∴△EFN是等腰直角三角形
∴FM⊥EM，并且FM=EM

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變分析，構(gòu)造全等三角形解決問題．