Question

14．如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°．將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，旋轉(zhuǎn)角為α，且0°＜α＜180°．在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B′可以恰好落在AB的中點(diǎn)處，如圖②．

（1）求∠A的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C到AA′的距離等于AC的一半時(shí)，求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得出△CBB′是等邊三角形，進(jìn)而得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得出∠CAD=30°，進(jìn)而得出α的度數(shù)．

解答 解：（1）將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，旋轉(zhuǎn)角為α，
∴CB=CB′
∵點(diǎn)B′可以恰好落在AB的中點(diǎn)處，
∴點(diǎn)B′是AB的中點(diǎn)．
∵∠ACB=90°，
∴CB′=$\frac{1}{2}$AB=BB′，
∴CB=CB′=BB′，
即△CBB′是等邊三角形．
∴∠B=60°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=30°；
（2）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AA′于點(diǎn)D，
點(diǎn)C到AA′的距離等于AC的一半，即CD=$\frac{1}{2}$AC．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=30°，
∵CA=CA′，
∴∠A′=∠CAD=30°．
∴∠ACA′=120°，即α=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)，正確掌握直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．