Question

如圖，拋物線y=x²+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標；
（2）若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，求CM+AM的最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）把A的坐標代入函數(shù)的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得頂點坐標；
（2）直線BC與拋物線的對稱軸的交點就是使CM+AM取得最小值的M的點，BC的長就是最小值．

解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，
∴b=-1，
∴拋物線解析式y(tǒng)=x²-x-2，
∵拋物線y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴頂點D的坐標（

1

2

，-

9

4

）；

（2）當x=0時，y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
當y=0時，0=x²-x-2，解得：x=2或-1，
∴B（2，0），
∴OB=2，
由拋物線的性質(zhì)可知：點A和B是對稱點，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2

2

．
∴CM+AM的最小值是2

2

．

點評：本題考查了利用配方法確定二次函數(shù)的頂點坐標以及對稱點的作法，正確確定直線BC與拋物線的對稱軸的交點就是使CM+AM取得最小值的M的點，是關(guān)鍵．