Question

王曉說：有一個(gè)三角形（記為△ABC），其中∠B=60°，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，延長BC至點(diǎn)E，使CE=BC，連接AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)F．爸爸，您能根據(jù)我上面的描述用AuToCAD畫出來嗎？
爸爸說：當(dāng)然！我根據(jù)你的描述畫了甲、乙兩個(gè)圖（如圖所示）呢～～～
請你根據(jù)王曉的描述和王曉爸爸所畫的圖，回答下列問題．
（1）經(jīng)測量甲圖中∠BAC=30°，∠BCD=30°，試判斷△CBD與△FAD是否相似，并說明理由；
（2）在乙圖中∠BAC≠30°，請你求證：

AB

AD

+

AE

AF

=2．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖甲，證明∠B=∠DAF，∠BDC=∠ADF，即可解決問題．
（2）如圖乙，作輔助線；證明

AE

AF

=

AM

AD

；證明BD=DM（設(shè)為λ），設(shè)AM=μ；得到AD=λ+μ，AB=2λ+μ，即可解決問題．

解答：解：（1）△CBD∽△FAD；理由如下：
如圖甲，∵∠BAC=30°，
∠BCD=30°，∠B=60°，
∴∠BDC=∠BCA=90°；
AC⊥BE，而BC=CE，
∴AB=AE，∠BAC=∠EAC=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠B=∠DAF，∠BDC=∠ADF，
∴△CBD∽△FAD．
（2）如圖乙，過點(diǎn)作EM∥DF；
則△AME∽△ADF，
∴

AE

AF

=

AM

AD

；
∵BC=CE，CD∥ME，
∴BD=DM（設(shè)為λ），設(shè)AM=μ；
∴AD=λ+μ，AB=2λ+μ；
∴

AB

AD

+

AE

AF

=

2λ+μ

λ+μ

+

μ

λ+μ

=

2(λ+μ)

λ+μ

=2，
即

AB

AD

+

AE

AF

=2．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形；運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)來分析、判斷．