Question

12．如圖，已知⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，求證：△EAF∽△CBA．
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線，
（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，
（3））由△EAF∽△CBA，可得出$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{EF}$，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長．

解答 （1）證明：如圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接BC，

由（1）知，∠EAF=∠EAC=90°，
∵B是EF的中點，
∴在Rt△EAF中，AB=BF（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{EF}$，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴$\frac{AB}{4}=\frac{6}{2AB}$，解得AB=2$\sqrt{3}$．
∴EF=4$\sqrt{3}$，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=4$\sqrt{2}$

點評 此題是相似三角形的判定和性質，主要考查了切線的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的判斷和性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線運用三角形相似及切線性質求解．