Question

2．如圖，已知A，E，B在同一直線上，△ADE，△BCE都是等邊三角形，連結AC，BD．
（1）求證：AC=BD；
（2）連結DC，取AB，BC，CD，AD的中點分別為P，Q，M，N．
①判斷四邊形PQMN的形狀，并證明你的結論；
②若AE=4，BE=2，求四邊形PQMN的周長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用SAS證明△ACE≌△DBE即可．
（2）①由三角形中位線定理證出MN∥PQ，MN=PQ，得出四邊形PQMN是平行四邊形，再證出MN=PN，即可得出結論；
②作DF⊥AB于F，由等邊三角形的性質得出AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2，由勾股定理求出DF，得出BF，由勾股定理求出BD，得出PN的長，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE=DE，CE=BE，∠DAE=∠AED=∠CEB=60°，
∴∠AED+∠CED=∠CEB+∠CED，
即∠AEC=∠DEB，
在△ACE和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠AEC=∠DEB}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DBE（SAS），
∴AC=BD．
（2）解：①四邊形PQMN是菱形；理由如下：
∵AB，BC，CD，AD的中點分別為P，Q，M，N．
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，MN∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥AC，PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四邊形PQMN是平行四邊形，
又∵AC=BD，
∴MN=PN，
∴四邊形PQMN是菱形；
②∵AD=AE=4，BE=2，
∴AB=AE+BE=6，
作DF⊥AB于F，如圖2所示：
則AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BF=AB-AF=4，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{7}$，
∴菱形PQMN的周長=4PN=4$\sqrt{7}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質及解直角三角形等知識；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．