Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，C是直角頂點(diǎn)．
（1）操作并觀察：將三角尺90°角的頂點(diǎn)與AB的中點(diǎn)O重合，使三角尺的兩個(gè)直角邊分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，然后將這個(gè)角繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)A，B，C重合），觀察在旋轉(zhuǎn)的過程中點(diǎn)E，F(xiàn)的位置變化，并判斷在AE，EF，F(xiàn)B這三條線段中，最大者是否始終為EF？
（2）探索：AE，EF，F(xiàn)B這三條線段能否組成一個(gè)以EF為斜邊的直角三角形？若能，試給出證明，否則加以說明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）將△FOB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△AOG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△FOB≌△GOA，根據(jù)全等的性質(zhì)及直角三角形斜邊最大即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可證明AE，EF，F(xiàn)B這三條線段能組成一個(gè)以EF為斜邊的直角三角形．

解答：解：（1）線段EF始終最大，證明如下：
將△FOB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，如圖，

∵O是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)A重合，△FOB≌△GOA，∠FBO=GAO，OF=OG，F(xiàn)B=GA，
連接GA、EG，
在△EOG和△EOF中，

FO=GO ∠EOF=∠EOG=90° EO=EO

，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EF=EG，
在△EAG中，∠EAG=∠EAO+∠GAO=∠EAO+∠FBO=90°，
∵EG是Rt△EAG斜邊，
∴EG＞EA，EG＞AG，
∴AE、EF、FB三條線段中，EF的長(zhǎng)度始終最大；
（2）根據(jù)（1）中可知AG=FB，EF=FG，
且△AEG為直角三角形，
則AE，EF，F(xiàn)B這三條線段能組成一個(gè)以EF為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△EOG≌△EOF是解題的關(guān)鍵．