Question

9．如圖1，在矩形ABCD中，AB＜BC＜2AB，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A→D→C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△BPQ的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，（其中0＜t≤4，4＜t≤6，6＜t≤m，m＜t＜n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）
（1）填空：BC=8，AB=6；
（2）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象和在矩形ABCD中，AB＜BC＜2AB，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A→D→C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，可以得到BC和AB的長；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象和第（1）問中求得的BC、AB的長，可以求得各段的函數(shù)解析式．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可知，
點(diǎn)Q從B到C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4秒，
故BC=2×4=8，
點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A用的時(shí)間是6秒，
故AB=1×6=6，
故答案為：8，6；
（2）由圖象可得，
當(dāng)0＜t≤4時(shí)，$S=\frac{2t•t}{2}={t}^{2}$；
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，$S=\frac{t•8}{2}=4t$；
∵AB=6，BC=8，
∴m=$\frac{8+6}{2}=7$，n=$\frac{8+8+6+6}{3}=\frac{28}{3}$，
當(dāng)6＜t≤7時(shí)，$S=6×8-\frac{（t-6）×6}{2}-\frac{8×（2t-8）}{2}-\frac{（6+8-t）（6+8-2t）}{2}$=-t²+10t，
當(dāng)7＜t＜$\frac{28}{3}$時(shí)，S=$\frac{（8+6+8+6-2t-t）×6}{2}$=-9t+84，
即S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{0＜t≤4}\\{4t}&{4＜t≤6}\\{-{t}^{2}+10t}&{6≤t＜7}\\{-9t+84}&{7＜t＜\frac{28}{3}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．