Question

5．如圖，∠AOB=90°，OA=OB，OP是∠AOB內(nèi)可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)的一條射線，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AE⊥OP、BF⊥OP，垂足分別為點(diǎn)E、F，假設(shè)OP從OB出發(fā)，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到OA（OP不與OB、OA重合），轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，線段AE、BF、EF的長(zhǎng)度有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，線段AE、BF、EF的長(zhǎng)度又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AE⊥OP，BF⊥OP，求證∠BOF+∠B=90°，可得∠AOF=∠B，再利用（AAS）求證△BOF≌△OAE，即可得出答案；
（2）根據(jù)AE⊥OP，BF⊥OP，求證∠BOF+∠B=90°，可得∠AOF=∠B，再利用（AAS）求證△BOF≌△OAE，即可得出答案．

解答 解：（1）AE-BF=EF，
理由是：∵AE⊥OP，BF⊥OP，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠BOF+∠B=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOF=90°
∴∠AOF=∠B，
在△BOF和△OAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFO}\\{∠AOE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△BOF≌△OAE（AAS）
∴OE=BF，OF=AE，
∵OF-OE=EF，
∴AE-BF=EF；


（2）BF-AE=EF，
理由是：∵AE⊥OP，BF⊥OP，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠BOF+∠B=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOF=90°
∴∠AOF=∠B，
在△BOF和△OAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFO}\\{∠AOE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△BOF≌△OAE（AAS）
∴OE=BF，OF=AE，
∵OE-OF=EF，
∴BF-AE=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂直定義，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出△BOF≌△OAE是解此題的關(guān)鍵，證明過(guò)程類似．