Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（16，0）、C（0，8），四邊形OABC是矩形，D、E分別是OA、B才邊上的點(diǎn)，沿著DE折疊矩形，點(diǎn)A恰好落在y軸上的點(diǎn)C處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．
（1）求D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是矩形的AB邊上的點(diǎn)，且EF=3

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，點(diǎn)G在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)D、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)OD=m，則CD=DA=16-m，在Rt△COD中，由勾股定理可得m=6，即可得D的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得CE=CD=10，可得E的坐標(biāo)；
（2）過(guò)B′作B′M⊥BC于M，易得B′M與CM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得反比例函數(shù)解析式，易求點(diǎn)F的坐標(biāo)；根據(jù)題意，分三種情況討論，可得在平面直角坐標(biāo)系中存在G₁、G₂、G₃的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）∵A（16，0）、C（0，8），
∴OA=16，OC=8，
設(shè)OD=m，則CD=DA=16-m．
在Rt△COD中，∠COD=90°．
∵CD²=OC²+OD²，
∴（16-m）²=8²+m²，
解得m=6，
∴D（6，0）．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA∥CB，
∴∠CED=∠EDA，
∵∠EDA=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=10，
∴E（10，8）；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)E、F的雙曲線解析式為：y=

k

x

（k≠0）．
如圖1，過(guò)B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8，B′E=BE=6，∠CB′E=90°
∴B′M=

CB×B′E

CE

=

8×6

10

=4.8
CM=

B′C2-B′M2

=6.4，B′（6.4，12.8）
∵k=10×8=80，
∴y=

80

x

．
故設(shè)F（x，

80

x

）．
∵EF=3

5

，E（10，8），
∴（10-x）²+（8-

80

x

）²=45．
解得 x=16，則y=5，
∴F（16，5），有三種情況如圖2：
①把線段DE先向右平移10個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位，端點(diǎn)E落在G₁處，G₁（20，13）；
②把線段EF先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位，端點(diǎn)F落在G₂處，G₂（12，-3）；
③把線段DF先向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位，端點(diǎn)D落在G₃處，G₃（0，3）．
綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系中存在G₁（20，13）、G₂（12，-3）、G₃（0，3）使得以點(diǎn)D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及其與直線的關(guān)系，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問(wèn)題，是非常有效的方法．