Question

7．如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上任意一點，BP的延長線交⊙O于點Q，點R在OA的延長線上，且RP=RQ．
（1）求證：RQ是⊙O的切線；
（2）當(dāng)RA≤OA時，試確定∠B的取值范圍；
（3）求證：OB²=PB•PQ+OP²．

Answer 1

分析 （1）連接OQ．欲證明RQ是⊙O的切線，只要證明∠OQR=90°．
（2）求出兩個特殊位置的∠B的值即可解決問題．
（3）如圖2中，延長AO交⊙于M．由PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以連接BM、AQ證明△PBM∽△PAQ得到），推出（OB-OP）（OB+OP）=PB•PQ，可得OB²-OP²=PB•PQ．

解答 （1）證明：連接OQ．

∵OA⊥OB，
∴∠2+∠B=90°，
∵OB=OQ，
∴∠B=∠4，
∵RP=RQ，
∴∠1=∠3=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∴OQ⊥RQ，
∴RQ是⊙O的切線．

（2）解：如圖1中，

①當(dāng)點R與A重合時，易知∠B=45°．
②當(dāng)AR=OA時，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，
∴∠R=30°，
∵RQ=RP，
∴∠RPQ=∠RQP=75°，
∴∠OPB=75°，
∴∠B=90°-∠OPB=15°，
綜上所述，15°≤∠B＜45°．

（3）如圖2中，延長AO交⊙于M．

∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以連接BM、AQ證明△PBM∽△PAQ得到），
∴（OB-OP）（OB+OP）=PB•PQ，
∴OB²-OP²=PB•PQ．
即OB²=PB•PQ+OP²．

點評 本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相交弦定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．