Question

△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=BC，D為⊙O中弧AB上一點(diǎn)，連接DA并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使∠ACB=∠ECD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=

2

CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)同弧上的圓周角相等，得∠CBA=∠CDE，則∠ACB=∠ECD，可證明△ACE≌△BCD，則AE=BD；
（2）根據(jù)已知條件得，∠CED=∠CDE=45°，則DE=

2

CD，從而證出結(jié)論．

解答：證明：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA，
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；

（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴DE=

2

，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=

2

CD．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了圓周角定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解答這類題學(xué)生一般不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．