Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3，則BD的長為2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AD，∠EAD=120°，CE=BD，連接DE，過A作AH⊥DE于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=EH，∠ADH=30°，推出∠CDE=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：把△ABD繞著得A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACE，
則AE=AD，∠EAD=120°，CE=BD，
連接DE，過A作AH⊥DE于H，
∴DH=EH，∠ADH=30°，
∵AD=5，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=5$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=60°，
∴∠CDE=90°，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{21}$．
∴BD=CE=2$\sqrt{21}$，
故答案為：2$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．