Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當AB=2時，求BE²的值．

Answer 1

考點：正方形的性質,角平分線的性質,勾股定理

專題：

分析：（1）連接CF，根據(jù)“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AE=EF，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)正方形的對角線等于邊長的

2

倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=

2

2

AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，連接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，

CF=CF CE=CD

，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，
∴AC=

2

AB=2

2

，
∵CE=CD，
∴AE=2

2

-2，
過點E作EH⊥AB于H，
則△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=

2

2

AE=

2

2

×（2

2

-2）=2-

2

，
∴BH=2-（2-

2

）=

2

，
在Rt△BEH中，BE²=BH²+EH²=（

2

）²+（2-

2

）²=8-4

2

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，作輔助線構造出全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．