Question

16．如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點O．
（1）若∠ABC=66°，∠ACB=34°，則∠A=80°，∠O=40°；
（2）探索∠A與∠O的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB∥CO，AC⊥BO，求∠ACB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；
（2）由題中角平分線可得∠O=∠OCD-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ACD-$\frac{1}{2}$∠ABC，進(jìn)而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出結(jié)論；
（3）AC與BO交于點E，由OC∥AB，證得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，證得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，進(jìn)而證得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC與∠ACD的角平分線交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=33°，∠OCD=$\frac{1}{2}$（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案為：80、40；

（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠AEB=∠CEO，
∵∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+$\frac{1}{2}$∠A+∠ABO，
∴$\frac{1}{2}$∠A=∠O；

（3）如圖，AC與BO交于點E，
∵OC∥AB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)問題，平行線的性質(zhì)，能夠掌握并熟練運用平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．