Question

20．如圖，點(diǎn)A（14，0），點(diǎn)B（5，12），P為△OAB內(nèi)心，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則k=36．

Answer 1

分析 作BQ⊥OA，由題意可得BQ=12，根據(jù)勾股定理分別求出OB、AB的長，繼而可得△OAB內(nèi)切圓半徑，PC⊥OA、PD⊥AB、PE⊥OB，設(shè)PC=OC=x，則AC=AD=14-x，BE=13-x，BD=AB-AD=15-（14-x）=1+x，由BD=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出答案．

解答 解：如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥OA于點(diǎn)Q，

則OQ=5，BQ=12，
∴OB=$\sqrt{O{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=13，AQ=OA-OQ=9，
∴AB=$\sqrt{B{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=15，
設(shè)⊙P的半徑為r，
則r=$\frac{14×12}{14+13+15}$=6，
過點(diǎn)P作PC⊥OA于C，PD⊥AB于D，PE⊥OB于E，
設(shè)PC=OC=x，則AC=AD=14-x，BE=13-x，
∴BD=AB-AD=15-（14-x）=1+x，
由BD=BE可得13-x=1+x，
解得：x=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6），
則k=6×6=36，
故答案為：36．

點(diǎn)評 本題主要考查勾股定理、三角形的內(nèi)切圓半徑公式及切線長定理，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓半徑公式及切線長定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．