Question

13．如圖，矩形ABCD中，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點B運動：同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點C運動．當點P到達B點時，點Q同時停止，設運動時間為t秒．已知AD=6，且t=2時，PQ=2$\sqrt{5}$．
（1）AB=8；
（2）連接DQ并延長交AB的延長線于點E，把DE沿DC翻折交BC延長線于點F，連接EF．
①當DP⊥DF時，求t的值；
②試證明，在運動過程中，△DEF的面積是定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得出PB的長，再得出AP的長，進而得出AB的長度即可；
（2）①首先證明△ADP∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，進而得到$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，解出t即可；
②由△EBQ∽△EAD，得$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，進而得到BE=$\frac{8t}{6-t}$，再根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可．

解答 解：（1）∵AD=6，且t=2時，PQ=2$\sqrt{5}$，
∵動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點B運動：同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點C運動，
∴AP=2×2=4，BQ=2×1=2，
∴在Rt△BPQ中，BP=$\sqrt{P{Q}^{2}-B{Q}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=4$，
∴AB=AP+PB=4+4=8，
故答案為：8；
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∵DP⊥DF，
∴∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，
∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6-t，
∴$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，
解得t=$\frac{18}{11}$；
②定值，理由如下：
∵△EBQ∽△EAD，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，即$\frac{BE}{BE+8}=\frac{t}{6}$，
解得BE=$\frac{8t}{6-t}$，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×QF×（DC+BE）=$\frac{1}{2}$×2（6-t）×（8+$\frac{8t}{6-t}$）=48，
∴△DEF的面積為48．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握證明三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，再利用三角形的面積公式進行計算．