Question

19．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0）．點(diǎn)P在直線y=-x+m上，且AP=OP．
（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)AP=4時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），AP=OP可知點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線上，故可得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由點(diǎn)P在直線y=-x+m即可得出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）易知點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線上，那么就能求得△AOP是等邊三角形，就能求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．把這點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式即可，同理可得到在第四象限的點(diǎn)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），AP=OP，
∴點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線上，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)=$\frac{4}{2}$=2．
∵點(diǎn)P在直線y=-x+m上，
∴y=-2+m，
∴P（2，m-2）；

（2）∵由已知AP=OP，點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線PM上．
∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等邊三角形．
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，OM=2，OP=4．
在Rt△OPM中，PM=$\sqrt{{OP}^{2}-{OM}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴P（2，2$\sqrt{3}$）．=
∵點(diǎn)P在y=-x+m上，
∴m=2+2$\sqrt{3}$．（6分）
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，P′（2，-2$\sqrt{3}$）．
∵點(diǎn)P′在y=-x+m上，
∴m=2-2$\sqrt{3}$
則m的值為2+2$\sqrt{3}$或2-2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．