Question

1．一個圓和等腰三角形ABC的兩腰相切，切點是D，E，又和△ABC的外接圓相切于F．求證：△ABC的內(nèi)心G和D，E在一條直線上．

Answer 1

分析 設(shè)∠A=2α，AB=a，表示出AF=$\frac{a}{cosα}$，AK=acosα，KF=$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$，再設(shè)OE=OF=b，表示出AO=$\frac{sinα}$=AF-OF=$\frac{a}{cosα}$-b，再利用銳角三角函數(shù)表示即可．

解答 證明：如圖，

設(shè)∠A=2α，AB=a，由題意，△ABF，△AKB都是直角三角形．
∴AF=$\frac{a}{cosα}$，AK=acosα，KF=AF-AK=a（$\frac{1}{cosα}$-cosα）=$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$，
設(shè)OE=OF=b，
∴AO=$\frac{sinα}$=AF-OF=$\frac{a}{cosα}$-b，
∴b（1+$\frac{1}{sinα}$）=$\frac{a}{cosα}$，
∴b=$\frac{asinα}{（sinα+1）cosα}$，
∴OG=bsinα=$\frac{asi{n}^{2}α}{（sinα+1）cosα}$，
∴AG=AO-GO=$\frac{acosα}{sinα+1}$，
過點G作AC的垂線，
∴GH=AGsinα=$\frac{asinαcosα}{sinα+1}$，
∴GK=OF-KF+OG=$\frac{asinα}{（sinα+1）cosα}$-$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$+$\frac{asi{n}^{2}α}{（sinα+1）cosα}$=$\frac{asinαcosα}{sinα+1}$=GH，
∴G是三角形內(nèi)心，
∴D，E，G三點共線．

點評 此題是三角形五心題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，和判斷三點共線的方法，解本題的關(guān)鍵是充分利用銳角三角函數(shù)的意義，難點是輔助線的作法．