Question

已知△ABC中，∠ABC+∠ACB=2∠A，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F點，D是BC中點，判斷△DEF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：根據(jù)三角形的內角和定理求出∠A，再求出∠ABC+∠ACB，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=FD=CD=DE，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BDF+∠CDE，然后根據(jù)平角的定義求出∠EDF，再根據(jù)等邊三角形的判定方法解答．

解答： 解：△DEF是等邊三角形．
證明如下：∵∠ABC+∠ACB=2∠A，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC中點，
∴BD=FD=CD=DE=

1

2

BC，
∴∠BDF+∠CDE=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）=360°-2（∠ABC+∠ACB）=360°-2×120°=120°，
∴∠EDF=180°-120°=60°，
又∵DE=DF，
∴△DEF是等邊三角形．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質，熟記各性質是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．