Question

13．如圖，直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象交x軸于另一點B．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）連接BC，點N是線段BC上的動點，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點D，求線段ND長度的最大值；
（3）若點H為二次函數(shù)y=ax²+4x+c圖象的頂點，點M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在x軸、y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F，E的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由一次函數(shù)的表達式求出A，C兩點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由二次函數(shù)的表達式求出B點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達式，設(shè)ND的長為d，N點的橫坐標為n，則N點的縱坐標為-n+5，D點的坐標為D（n，-n²+4n+5），根據(jù)兩點間的距離公式和二次函數(shù)的最值計算可求線段ND長度的最大值；
（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為H（2，9），點M的坐標為M（4，5），作點H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點H₁，可得點H₁的坐標，作點M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點HM₁，可得點M₁的坐標連結(jié)H₁M₁分別交x軸于點F，y軸于點E，可得H₁M₁+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H₁M₁解析式，根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點F、E的坐標．

解答 解：（1）∵直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，
∴A（-1，0），C（0，5），
∵二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象過A，C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達式為y=-x²+4x+5；

（2）如圖1，

∵點B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點，
∴由二次函數(shù)的表達式為y=-x²+4x+5得，點B的坐標B（5，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
∵直線BC過點B（5，0），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+5，
設(shè)ND的長為d，N點的橫坐標為n，
則N點的縱坐標為-n+5，D點的坐標為D（n，-n²+4n+5），
則d=|-n²+4n+5-（-n+5）|，
由題意可知：-n²+4n+5＞-n+5，
∴d=-n²+4n+5-（-n+5）=-n²+5n=-（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當n=$\frac{5}{2}$時，線段ND長度的最大值是 $\frac{25}{4}$；

（3）如圖2中，

由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為H（2，9），點M的坐標為M（4，5），
作點H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點H₁，則點H₁的坐標為H₁（-2，9），
作點M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點HM₁，則點M₁的坐標為M₁（4，-5），
連結(jié)H₁M₁分別交x軸于點F，y軸于點E，
所以H₁M₁+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點F、E即為所求，
設(shè)直線H₁M₁解析式為y=k₁x+b₁，
直線H₁M₁過點M₁（4，-5），H₁（-2，9），
根據(jù)題意得方程組 $\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{1}+_{1}=-5}\\{-2{k}_{1}+_{1}=9}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{7}{3}}\\{_{1}=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
∴點F，E的坐標分別為（ $\frac{13}{7}$，0）（0，$\frac{13}{3}$）．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式，二次函數(shù)的頂點坐標，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的最值，軸對稱-最短路線問題，方程思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考壓軸題．