Question

18．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．將紙片先沿直線AC對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平．若鋪平后的圖形中有一個是面積為$2\sqrt{2}$的平行四邊形，則CD=2+$\sqrt{2}$或2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意結(jié)合裁剪的方法得出符合題意的圖形有兩個，分別利用菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理得出CD的長．

解答 解：如圖1所示：

延長BE交CD于點N，過點A作AT⊥BE于點T，
當(dāng)四邊形ABED為平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABED是菱形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD∥BN，AB∥DE，
∴∠ABT=45°，∠BAT=45°，∠ABT=∠DEN=45°，∠END=90°，
則∠NDE=45°，
∵四邊形ABCE面積為2$\sqrt{2}$，
∴設(shè)AT=x，則AB=BE=ED=$\sqrt{2}$x，
故$\sqrt{2}$x×x=2$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$（負(fù)數(shù)舍去），
則BE=ED=2，EN=$\sqrt{2}$，
故DC=DN+NC=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+2=2+2$\sqrt{2}$；
如圖2，

當(dāng)四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴平行四邊形AECF是菱形，
∵∠B=∠D=90°，∠BAD=135°，
∴∠BCA=∠DCA=22.5°，
∵AE=CE，
∴∠AEB=45°，
∴設(shè)AB=y，則BE=y，AE=$\sqrt{2}$y，
∵四邊形AECF面積為2$\sqrt{2}$，
∴AB×CE=$\sqrt{2}$y²=2$\sqrt{2}$，
解得：y=$\sqrt{2}$，故CE=2，BE=$\sqrt{2}$，
則CD=BC=2+$\sqrt{2}$，
綜上所述：CD的值為：2+$\sqrt{2}$或2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2+2\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了翻折變換，剪紙問題以及勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出正確圖形是解題關(guān)鍵．