Question

求下列三角形的外接圓半徑R和內(nèi)切圓半徑r．
（1）等邊△ABC，邊長為6；
（2）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24；
（3）Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：（1）過圓心作一邊的垂線，解直角三角形即可求出外接圓半徑和內(nèi)切圓；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出內(nèi)心和外心都在底邊的高AD上，根據(jù)勾股定理得出方程，即可求出外接圓的半徑，根據(jù)三角形的面積公式即可求出內(nèi)切圓的半徑；
（3）根據(jù)勾股定理求出斜邊，即可得出外接圓的半徑畫出圖形，根據(jù)切線長定理求出BF=BD，AF=AE，求出四邊形DCEO是正方形，得出OD=OE=DC=CE，得出方程，求出即可．

解答：解：（1）如圖1，

△ABC是正三角形，設(shè)O是△ABC的中心（也是等邊三角形ABC的內(nèi)心），
則∠OBD=30°，
∵正三角形的邊長為6，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，OD=BD•tan30°=3×

3

3

=

3

，
OB=2OD=2

3

，
即三角形的外接圓半徑R=2

3

，內(nèi)切圓半徑r=

3

；

（2）如圖2，

∵在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
∴過A作AD⊥BC于D，則外接圓的圓心O在AD上，連接OB、OC，
∴BD=CD=

1

2

BC=12，AD=

132-122

=5，
∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，
∴R²=（5-R）²+12²，
∴R=16.9；
如圖3，

故A作AD⊥BC于D，
∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，過I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，連接OA、OB、OC，
則IF=IE=ID=r，
∵S_△ABC=S_△BIC+S_△AIC+S_△ABI，
∴由三角形的面積公式得：

1

2

BC×AD=

1

2

BC×r+

1

2

AC×r+

1

2

AB×r，
∴12×5=12r+13r+13r，
∴r=

30

19

，
即三角形ABC的外接圓半徑R=16.9，內(nèi)切圓半徑r=

30

19

；

（3）如圖4，

接圓的圓心是斜邊AB的中點，
由勾股定理得：AB

AC2+BC2

=

52+122

=13，
所以外接圓的半徑為

1

2

AB=6.5，
連接OD、OE，如圖5，

∵⊙O是△ACB的內(nèi)切圓，
∴BD=BF，AE=AF，CD=CE，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OD=OE，
∴四邊形DCEO是正方形，
∴OD=DC=OE=CE，
∵AB=13，
∴BF+AF=BD+AE=12-OD+5-OE=13，
∴OD=OE=2，
即三角形ABC的外接圓半徑R=6.5，內(nèi)切圓半徑r=2．

點評：本題考查了三角形的外接圓和內(nèi)切圓，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．