Question

7．水壩的橫截面為梯形ABCD，迎水坡AD的坡角為30°，背水坡BC的坡度為1：1，壩頂寬AB為4m，壩高為6m
（1）求壩底寬CD；
（2）若不改變水壩的坡度和壩底寬CD，而要用土將這段長度為1000m的堤壩加高0.5m，需要多少土（精確到1m³）

Answer 1

分析 （1）首先過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度=1：1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求解，
（2）過M、N作ME⊥CD、NF⊥CD，可得四邊形，MEFN是矩形，又由背水坡的坡度=1：1，迎水坡的坡角∠ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求得MN，從而求得增加的土方．

解答 解：（1）如圖1，分別過B、A作BE⊥CD、AF⊥CD，垂足為E、F，
可得：BE∥AF，
又∵AB∥CD，
∴AB=EF BE=AF
由題意，得EF=AB=4m，BE=AF=6m，
∵背水坡BC的坡度為1：1，
∴∠BCE=45°，
∴CE=BE×cot45°=6×1=6，
DF=AF•cot30°=6×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴CD=CE+EF+DF=6+4+6$\sqrt{3}$=10+6$\sqrt{3}$
答：壩底CD的長度為（10+6$\sqrt{3}$）m．
（2）如圖2，分別過M、N作ME⊥CD、NF⊥CD，垂足為E、F，
可得：ME∥NF，
又∵MN∥CD，
∴MN=EF ME=NF
由題意，得ME=NF=6.5m，
∵背水坡MC的坡度為1：1，
∴∠BCE=45°，
∴CE=ME×cot45°=6.5×1=6.5，
DF=NF•cot30°=6.5×$\sqrt{3}$=$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$，
∵CD=10+6$\sqrt{3}$，
∴MN=EF=10+6$\sqrt{3}$-6.5-$\frac{13}{2}$$\sqrt{3}$=3.5-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
∴堤壩加高0.5米需要增加土方為：$\frac{1}{2}$（3.5-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$+4）×0.5×1000=$\frac{1}{8}$（$\sqrt{3}$+1）≈337方．
答：堤壩加高0.5米需要增加土方337方．

點評 此題考查了坡度坡角問題．此題難度適中，注意構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識求解是關(guān)鍵．