Question

19．如圖，△ABC是等腰直角三角形，D是斜邊AB上一點(diǎn)，AC=AD，直角∠EDF的兩邊分別與AC、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則$\frac{DF}{DE}$的值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 連接CD、EF，由題意可知，C、D、E、F四點(diǎn)共圓，所以由圓周角定理可知∠DCG=∠EDF，所以tan∠DCG=tan∠EDF=$\frac{DF}{DE}$，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CF于點(diǎn)G，然后利用勾股定理即可求出答案．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CF于點(diǎn)G，連接CD和EF，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴C、D、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠DCG=∠DEF，
設(shè)AC=1，
∴BC=AC=1，
∴由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{2}$，
∵AD=AC=1，
∴BD=AB-AD=$\sqrt{2}$-1，
∴sin∠ABC=$\frac{DG}{BD}$，
∴DG=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BG=DG=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CG=BC-BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠DCG=$\frac{DG}{CG}$=$\sqrt{2}-1$，
∴tan∠DCG=tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\sqrt{2}$-1
故答案為$\sqrt{2}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，涉及四點(diǎn)共圓判定，相似三角形判定，圓周角定理等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解答．