Question

8．觀察下列等式：
①1+6×1=4²-9×1²；
②1+6×2=7²-9×2²；
③1+6×3=10²-9×3²；
…
根據(jù)上述規(guī)律解集下列問題：
（1）完成第四個等式：1+6×4=13²-9×4²；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性．

Answer 1

分析 （1）等式左邊隨序號在變化的只有第二個因數(shù)，并且是每個等式的序號數(shù)；等式右邊第一個冪的底數(shù)，它是序號的3倍加1，第二個冪的底數(shù)顯然也是序號數(shù)．
（2）將左邊第二個因數(shù)用n表示，那么右邊第一個底數(shù)是（3n+1），第二個底數(shù)為n，可完整表示出第n個等式．

解答 解：（1）等式左邊隨序號在變化的只有第二個因數(shù)，并且是每個等式的序號數(shù)；
等式右邊第一個冪的底數(shù)，它是序號的3倍加1，第二個冪的底數(shù)顯然也是序號數(shù)．
所以第4個等式為：1+6×4=（3×4+1）²-9×4²，
即1+6×4=13²-9×4²；
答案為：4，13，4．
（2）第n個等式為：1+6n=（3n+1）²-9n²；
∵右邊=（3n）²+2•（3n）•1+1-9n²
=9n²+6n+1-9n²
=6n+1=左邊
∴1+6n=（3n+1）²-9n²成立．

點評 通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力．本題的關鍵是看清沒個等式在變化的數(shù)與等式序號間的關系．