Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）拋物線y=-x²+bx+c在第一象限內(nèi)的部分記為圖象G，如果過點(diǎn)P（-3，4）的直線y=mx+n（m≠0）與圖象G有唯一公共點(diǎn)，請結(jié)合圖象，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求得；
（2）如圖，先求出直線PB解析式．從而知其與y軸的交點(diǎn)E，由圖象知過點(diǎn)P的直線與y軸交點(diǎn)在C、E（含點(diǎn)C，不含點(diǎn)E）之間時(shí)，與圖象G有唯一公共點(diǎn)，據(jù)此解答可得．

解答 解：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3．

（2）設(shè)拋物線y=-x²+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)P（-3，4）、B（3，0）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直線PB的表達(dá)式為$y=-\frac{2}{3}x+2$，
∴與y軸交于點(diǎn)E（0，2）．
∵直線PD平行于x軸，
∴與y軸交于點(diǎn)F（0，4）．
由圖象可知，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與y軸交點(diǎn)在C、E（含點(diǎn)C，不含點(diǎn)E）之間時(shí)，與圖象G有唯一公共點(diǎn)，
另外，直線PD與圖象G也有唯一公共點(diǎn)，
但此時(shí)m=0．
∴n的取值范圍是2＜n≤3．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)函數(shù)圖象得出過點(diǎn)的直線與圖象G有唯一公共點(diǎn)時(shí)，與y軸交點(diǎn)的范圍是解題的關(guān)鍵，