Question

4．如圖，CD是△ABC的中線，CD⊥CB，∠ACD=30°，求證：AC=2BC．

Answer 1

分析 延長CD至E，使DE=DC，連接BE；由SAS證明△BDE≌△ADC，得出BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出BE=2BC，即可得出AC=2BC．

解答 證明：延長CD至E，使DE=DC，連接BE，如圖所示：
∵CD是△ABC的中線，
∴BD=AD，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠ADC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE=AC，∠E=∠ACD=30°，
∵CD⊥CB，
∴∠BCE=90°，
∴BE=2BC，
∴AC=2BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質；通過作輔助線構造三角形全等是解決問題的關鍵．