Question

14．已知：如圖，M、N分別是?ABCD的對(duì)邊中點(diǎn)，且AD=2AB，求證：PMQN為矩形．

Answer 1

分析 連接MN．由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD平行且等于BC，而M、N是AD、BC的中點(diǎn)，從而可證DM平行且等于BN，于是可證四邊形BNDM是平行四邊形，則BM∥DN，同理可證AN∥CM，那么可證四邊形PNQM是平行四邊形，由于AM平行等于BN，且AB=BN=$\frac{1}{2}$BC，則可知四邊形ABNM是菱形，利用菱形的性質(zhì)，可知AN⊥BM，即∠MPN=90°，那么平行四邊形PNQM是矩形．

解答 證明：連接MN，如圖所示：
∵ABCD為平行四邊形，
∴AD平行且等于BC，
又∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，
∴MD平行且等于BN，
∴BNDM為平行四邊形，
∴BM∥ND，
同理AN∥MC，
∴四邊形PMQN為平行四邊形，
連接MN，
∵AM平行且等于BN，
∴四邊形ABNM為平行四邊形，
又∵AD=2AB，M為AD中點(diǎn)，
∴BN=AB，
∴四邊形ABNM為菱形，
∴AN⊥BM，
∴平行四邊形PMQN為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出AN⊥BM是解決問題的關(guān)鍵．