Question

15．定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．
（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長．
②若AC⊥BD，求證：AD=CD，
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；
②只要證明△ABD≌△CBD，即可解決問題；
（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．若EF與BC不垂直，①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求解即可；

解答 解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，
∴S四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴BD=AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

（2）如圖1中，連接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD．

（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，
∴四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．
若EF與BC不垂直，
①當AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，
∴AE=AB=5．
②當BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，
∴BF=AB=5，
∵DE∥BF，
∴DE：BF=PD：PB=1：2，
∴DE=2.5，
∴AE=9-2.5=6.5，
綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角四邊形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．