Question

如圖1，在等腰△ABC中，底邊BC＝8，高AD＝2，一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)停止；另一動(dòng)點(diǎn)P從距離B點(diǎn)1個(gè)單位的位置出發(fā)，以相同的速度沿BC向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)DC中點(diǎn)停止；已知P、Q同時(shí)出發(fā)，以PQ為邊作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t ≥0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，t的值為 ，當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，t的值為 ；

（2）設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，求出當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍；

（3）（本小題選做題，做對(duì)得5分，但全卷不超過(guò)150分）

如圖2，分別取AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接ED、FD，當(dāng)點(diǎn)P、Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G從BE中點(diǎn)出發(fā)，以每秒 個(gè)單位的速度沿折線BE－ED－DF向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G可能與PN邊的中點(diǎn)重合嗎？如果可能，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值或取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）1

（2）

（3）可能．t＝0或t＝2或4≤t ≤5

【解析】

試題分析：本題屬于學(xué)科綜合題，代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解答此類綜合題關(guān)鍵是數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)化.（1）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，NP=1,NP∥AD,利用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例的性質(zhì)可算出t的值；當(dāng)N落在AC邊上時(shí),正方形的邊長(zhǎng)不再是1,Q點(diǎn)已經(jīng)停在D點(diǎn),PD=t-3,∴PN=t-3, PC=4-(t-3)=7-t ∵PN∥DA ∴ ∴ ∴t=．（2）畫(huà)出運(yùn)動(dòng)中的圖形，根據(jù)具體圖形利用未知數(shù)t的代數(shù)式表示并求其面積.（3）重點(diǎn)是準(zhǔn)確畫(huà)出圖形變化，PN中點(diǎn)與G何時(shí)重合.

試題解析： （1）【解析】
∵NP∥AD PN=1 AD=2 ∴ ∴PN是△ABD的中位線 ∴BP=2∴t=1

∵PD=t-3, ∴PN=t-3, PC=4-(t-3)=7-t

∵PN∥DA ∴∴ ∴t=．

( 2 )當(dāng) 0＜t＜1，重疊部分為梯形，當(dāng)1＜t ＜2時(shí),設(shè)EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.

（2）當(dāng)1＜t ＜2時(shí), 設(shè)EQ交AB于R，則重疊部分為五邊形PQREN.

∵ME＝2－t，MR＝ ME＝( 2－t )∴S△MRE ＝ ME·MR＝ ( 2－t )2

∴S＝S正方形PQMN － S△MRE ＝1－ ( 2－t )2＝－t 2＋t

當(dāng)＜t ＜5時(shí)

設(shè)MN交AC于S，PN交AC于T，則重疊部分為五邊形PQMST

∵AM＝2－( t－3 )＝5－t，MS＝2AM＝2( 5－t ) PC＝7－t，PT＝ PC＝ ( 7－t )

∴S△AMS ＝ AM·MS＝( 5－t )2，S△PTC ＝ PC·PT＝( 7－t )2

又S△ADC ＝ AD·CD＝×2×4＝4

∴S＝S△ADC － S△AMS － S△PTC ＝4－( 5－t )2－( 7－t )2＝－t 2＋t－

綜上所述，當(dāng)重疊部分為五邊形時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

（3）可能． t＝0或t＝2或4≤t ≤5

當(dāng)t=0時(shí)，QP=1,GP=,G為BE中點(diǎn)，也為NP中點(diǎn)．

當(dāng)t=2時(shí)，G點(diǎn)所走路程為×2=，到達(dá)DE中點(diǎn).正方形 PQEN運(yùn)動(dòng)到圖形位置，EQ=1，GP= NP為NP中點(diǎn).

當(dāng)4≤t ≤5時(shí)，DP=t-3 設(shè)NP與DF相交與點(diǎn)R則PR=(t-3) 由勾股定理得DR= (t-3) 此時(shí)DG=t-= (t-3) 所以點(diǎn)R與點(diǎn)G重合.

考點(diǎn)：1、三角形相似；2、二次函數(shù)；3、動(dòng)點(diǎn)型的圖形面積；4、探究型試題．