Question

10．已知四邊形ABCD，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（m，0），（n，0），當(dāng)頂點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上，我們稱這樣的四邊形為“軸曲四邊形ABCD”，頂點(diǎn)C稱為“軸曲頂點(diǎn)”．小明對(duì)此問(wèn)題非常感興趣，對(duì)反比例函數(shù)為y=$\frac{2}{x}$時(shí)進(jìn)行了相關(guān)探究．

（1）若軸曲四邊形ABCD為正方形時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的軸曲正方形只有兩個(gè)，且一個(gè)正方形的頂點(diǎn)C在第一象限，另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)C₁在第三象限．
①如圖1所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），圖中已畫出符合條件的一個(gè)軸曲正方形ABCD，易知軸曲頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），請(qǐng)你畫出另一個(gè)軸曲正方形AB₁C₁D₁，并寫出軸曲頂點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（-1，-2）；
②小明通過(guò)改變點(diǎn)A的坐標(biāo)，對(duì)直線CC₁的解析式y(tǒng)﹦kx+b進(jìn)行了探究，可得k﹦1，b（用含m的式子表示）﹦-m；
（2）若軸曲四邊形ABCD為矩形，且兩鄰邊的比為1：2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），求出軸曲頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性質(zhì)和“軸曲四邊形ABCD”的定義容易畫出圖形，得出頂點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；
②由題意得出點(diǎn)C和C₁的坐標(biāo)，代入y﹦kx+b，得出方程組，解方程組即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)AB=2BC時(shí)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（n\;，\;\frac{n-2}{2}）$或$（{n\;，\;\frac{2-n}{2}}）$，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；
②當(dāng)BC=2AB時(shí)，由題意得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n-4）或（n，4-2n），根據(jù)題意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）①如圖1所示：點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（-1，-2）；
故答案為：（-1，-2）；
②由題意得：C的坐標(biāo)為（n，n-m），C₁的坐標(biāo)為（m-n，-n），
代入y﹦kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{nk+b=n-m}\\{（m-n）k+b=-n}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-m．
故答案為：1，-m；
（2）分兩種情況：①當(dāng)AB=2BC時(shí)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（n\;，\;\frac{n-2}{2}）$或$（{n\;，\;\frac{2-n}{2}}）$．
∴$n×\frac{n-2}{2}=2$或$n×\frac{2-n}{2}=2$．
解得：$n=1±\sqrt{5}$或無(wú)實(shí)根．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（{1+\sqrt{5}\;，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1-\sqrt{5}\;，\;\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}}）$．
②當(dāng)BC=2AB時(shí)，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n-4）或（n，4-2n）．
∴n（2n-4）=2或n（4-2n）=2．
解得：$n=1±\sqrt{2}$或n=1．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（{1+\sqrt{2}\;，\;2\sqrt{2}-2}）$或$（{1-\sqrt{2}\;，\;-2-2\sqrt{2}}）$或（1，2）；
綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（{1+\sqrt{5}\;，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1-\sqrt{5}\;，\;\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1+\sqrt{2}\;，\;2\sqrt{2}-2}）$或$（{1-\sqrt{2}\;，\;-2-2\sqrt{2}}）$或（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了“軸曲四邊形ABCD”的性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式的運(yùn)用、一次函數(shù)解析式的求法、正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、方程的解法等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，理解“軸曲四邊形ABCD”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．