Question

4．如圖，BC是半圓O的直徑，點(diǎn)G是半圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A為BG的中點(diǎn)，AD⊥BC于E，AC與BG交于點(diǎn)F．
（1）求證：BE=AE=EF；
（2）如果∠GBC=30°，BC=12$\sqrt{3}$，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據(jù)圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)證明Rt△ABF∽R(shí)t△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠EAF=∠AFB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解答即可．

解答 （1）證明：連接AB，
∵BC為⊙O的直徑，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C．
∵點(diǎn)A為$\widehat{BG}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AE=BE．
∵∠C=∠ABF，
∴Rt△ABF∽R(shí)t△ACB，
∴AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF=BE；
（2）解：∵AD⊥BC，∠GBC=30°，
∴∠BED=60°，
∵EA=EB，
∴∠EBA=∠EAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=6$\sqrt{3}$，
∵∠EAB=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
又∵∠GBC=30°，
∴DE=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．