Question

8．如圖，點E在正方形ABCD對角線AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形的邊長為a，則重疊部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{5}{9}$a²
• B． $\frac{4}{9}$a²
• C． $\frac{2}{3}$a²
• D． $\frac{1}{4}$a²

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明四邊形EPCQ為正方形；其次求出EP的長度，進而求出正方形EPCQ的面積；證明△PEM≌△QEN，得到S_△PEM=S_△QEN，進而得到${S}_{重疊部分}={S}_{正方形EPCQ}=\frac{4}{9}{a}^{2}$，即可解決問題．

解答 解：如圖，過點E作EP⊥BC，EQ⊥CD；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠MCN=90°，CE平分∠MCN，
∴四邊形PCQE為矩形，且EP=EQ，
∴四邊形PCQE為正方形；
∵EC=2EA，
∴EC：CA=2：3；
∵EP∥AB，
∴△EPC∽△ABC，
∴EP：AB=EC：CA=2：3，
∴EP=$\frac{2}{3}$a，
∴正方形EPCQ的面積為$\frac{4}{9}{a}^{2}$；
∵四邊形EPCQ為正方形，
∴∠PEQ=∠MEN=90°，
∴∠PEM=∠QEN；
在△PEM與△QEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NQE}\\{PE=NE}\\{∠PEM=∠QEN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△QEN（ASA），
∴S_△PEM=S_△QEN，
∴${S}_{重疊部分}={S}_{正方形EPCQ}=\frac{4}{9}{a}^{2}$，
故選B．

點評 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．