Question

6．在矩形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F為對角線BD上兩點(diǎn)，DE=EF=FB．
（1）求證：四邊形ACE是平行四邊形；
（2）若AE⊥BD，AF=2$\sqrt{2}$，AB=4，求BF的長度．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點(diǎn)O，由矩形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，再證出OE=OF，即可證出四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=AF，再由勾股定理求出BD，即可得出BF．

解答 （1）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵DE=EF=FB，
∴OB-BF=OD-DE，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）解：∵AE⊥BD，DE=EF，
∴AD=AF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，BD²=AD²+AB²，
∴BD═2$\sqrt{6}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．